1. 拉格朗日不等式求極值
對(duì)于無(wú)約束條件的函數(shù)求極值，主要利用導(dǎo)數(shù)求解法
例如求解函數(shù)f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的極值。步驟如下：
（1）求出f(x,y)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f’x(x,y),f’y(x,y)。
f’x(x,y) = 3x2-8x+2y
f’y(x,y) = 2x-2y
（2）令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0，解方程組。
3x2-8x+2y = 0
2x-2y = 0
得到解為(0,0),(2,2)。這兩個(gè)解是f(x,y)的極值點(diǎn)。
2. 條件極值拉格朗日公式
拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來(lái)解決有約束極值的一種方法。
有約束極值：舉例說(shuō)明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問(wèn)題就叫做有約束極值問(wèn)題。
上述問(wèn)題可以通過(guò)消元來(lái)解決，例如消去x，則變成
z=(y-1)^2+y^2
則容易求解。
但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時(shí)消元將會(huì)很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過(guò)程如下：
令
f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)
令
f對(duì)x的偏導(dǎo)=0
f對(duì)y的偏導(dǎo)=0
f對(duì)k的偏導(dǎo)=0
解上述三個(gè)方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。
拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡(jiǎn)單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。
3. 有條件求極值拉格朗日
構(gòu)造函數(shù)4a+b+m(a^2+b^2+c^2-3)
對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)并令其等于0
4+2ma=0
1+2mb=0
2mc=0
同時(shí)a^2+b^2+c^2=3
所以
m=根號(hào)17/2根號(hào)3
a=-4根號(hào)3/根號(hào)17
b=-根號(hào)3/根號(hào)17
4a+b=-根號(hào)51
1、是求極值的,不是求最值的
2、如果要求最值,要把極值點(diǎn)的函數(shù)值和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值還有端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較
3、書上說(shuō)是可能的極值點(diǎn),這個(gè)沒(méi)錯(cuò),比如f(x)=x^3,在x=0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)確實(shí)為0,但是不是極值點(diǎn),所以是可能的極值點(diǎn),到底是不是要帶入原函數(shù)再看
4. 拉格朗日定理求極值
舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子
f(x,y)=x+y subject to the constraint:2x+y^2 -5=0
define the lagrange function
L(x,y)=x+y+λ(2x+y-5)
partial derivertive:
d(L)/d(x)=1+2λ=0
d(L)/d(y)=1+λy=0
d(L)/d(λ)=2x+y-5=0
最底下著三個(gè)方程組是怎么的出來(lái)的
f(x,y)= C ln x1+d ln x2
P1X1+P2X2=M
解
L(x,y) 分別對(duì)x,y,λ 求偏導(dǎo)
L(x,y)=C ln x1+d ln x2+λ （P1X1+P2X2-M）
分別對(duì)x1,x2,λ 求偏導(dǎo)
d(L)/d(x1)=c/x1+λp1=0
d(L)/d(x1)=d/x2+λp2=0
d(L)/d(x1)=P1X1+P2X2-M=0
5. 拉格朗日乘數(shù)法求條件極值
拉格郎日乘數(shù)法的適用條件是乘數(shù)不等于0。
求最值（最值是某個(gè)區(qū)間的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多個(gè),所以也不唯一哈,極值是一個(gè)小范圍,很小很小,內(nèi)的最值）.因?yàn)樽钪悼偸前l(fā)生在極值點(diǎn)+區(qū)間邊界點(diǎn)+間斷點(diǎn)處,所以可以用拉朗乘數(shù)求出極值,用邊界和間斷點(diǎn)極限求出可疑極值,比較他們的大小,就可以找到區(qū)間內(nèi)的最值了.特別地,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)用拉朗求出僅一個(gè)極值,切很易判定沒(méi)有其他可疑極值點(diǎn),就可以直接判斷那個(gè)極值是最值；或者可以判斷函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)（比如exp（x^2+y^2)在（x>0,y>0)時(shí)單調(diào)遞增）,就不用求極值（因?yàn)闆](méi)有）,直接求區(qū)間邊界（或者間斷點(diǎn),有間斷點(diǎn)也可以單調(diào)的）作為最值。
6. 拉格朗日條件極值怎么解
設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。
7. 拉格朗日公式求極限
在經(jīng)典的牛頓物理學(xué)中，系統(tǒng)的拉格朗日是總動(dòng)能減去總勢(shì)能，但在量子場(chǎng)論中，這種簡(jiǎn)單的關(guān)系不再真實(shí)，并且每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的拉格朗日方程是所有空間中所有領(lǐng)域的功能。我們可以處理愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，或者使用量子場(chǎng)論，或者采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，當(dāng)物理學(xué)家提出新的物理基本定律時(shí)，它們經(jīng)常通過(guò)提出拉格朗日的新方程來(lái)做到這一點(diǎn)。
因此我們要關(guān)注的不是任何一個(gè)特定理論中的拉格朗日方程，但拉格朗日如何用于預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為，這具有普遍的實(shí)踐和哲學(xué)意義。
8. 拉格朗日定理怎么求極限
拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。
正壓理想流體在質(zhì)量力有勢(shì)的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無(wú)渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無(wú)渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a、b、c），作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中，沒(méi)有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方，該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。
9. 拉格朗日公式求極值
在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)矢量的系數(shù)。
引入新變量拉格朗日乘數(shù)，即可求解拉格朗日方程
此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。