1. ln(1+x)泰勒展開拉格朗日余項(xiàng)
拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開式與原式之間的一個(gè)誤差值，如果其值為無(wú)窮小，則表明公式展開足夠準(zhǔn)確。 證明： 根據(jù)柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之間；連續(xù)使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之間；
2. 1/(1-x)泰勒展開拉格朗日余項(xiàng)
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿足條件：
（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得
顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。
3. ln(1+x)泰勒展開余項(xiàng)
泰勒展開是在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)展開，lnx在x=0處無(wú)定義，它不能在x=0處展開
一般用ln(x+1)來(lái)套用麥克勞林公式
在x = 0 處無(wú)定義，因?yàn)楸緛?lái)ln 0就沒(méi)定義
泰勒展開是可以的，一般是對(duì)ln(x+1)進(jìn)行展開，有麥克勞林公式：
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 ...+(-1)^(n-1)x^n/n+...
要算ln x的近似值用ln (x+1)公式就可以。
擴(kuò)展資料：
除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應(yīng)用也非常廣泛，特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上有著很大的作用。
在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實(shí)踐中，泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用，簡(jiǎn)單歸納如下
(1)應(yīng)用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題 。
(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。
(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計(jì)算
4. ln(x+1)的拉格朗日余項(xiàng)
設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即
L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。
5. lnx在x=2處的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式
拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：f'（x）=n+1。泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。
函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
6. lnx的拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式
泰勒展開是在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)展開，lnx在x=0處無(wú)定義，它不能在x=0處展開
一般用ln(x+1)來(lái)套用麥克勞林公式
在x = 0 處無(wú)定義，因?yàn)楸緛?lái)ln 0就沒(méi)定義
泰勒展開是可以的，一般是對(duì)ln(x+1)進(jìn)行展開，有麥克勞林公式：
ln(x+1) = x - x^2/2 + x^3/3 ...+(-1)^(n-1)x^n/n+...
要算ln x的近似值用ln (x+1)公式就可以。
擴(kuò)展資料：
除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應(yīng)用也非常廣泛，特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上有著很大的作用。
在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實(shí)踐中，泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用，簡(jiǎn)單歸納如下
(1)應(yīng)用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題 。
(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。
(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計(jì)算。
7. ln1加x的拉格朗日余項(xiàng)推導(dǎo)
f（9）-f（4）=f′（x0）（9-4）
證明：由f（x）=√x,
∴f′（x）=1/2√x,
1/2√x=（√9-√4）/（9-4）
1/2√x=1/5
∴x0=25/4.